مش عارفه كيف بحله sinz/z

3 18 3 5

بطيـخ

سُؤال مُوجه الى سلطان العاشقين
ملحق #1
كيف بدي اعرف اذا اناليتك فنكشن
ملحق #2
سلطان العاشقين
ملحق #3
سلطان العاشقينيعني برايك هيك الحل صح
ملحق #4
سلطان العاشقينمش عارفه ليش الصورة قلت جودتها
ملحق #5
سلطان العاشقينلا اعرف كيف اشكرك
(أفضل إجابة)
طب واحدة واحدة.. نعم دالة تحليلية لأنه يمكن التعبير عنها في صورة متسلسلة Series expansion.. يمكن أن نبني مباشرة على دالةsinz والتي نعلم مسبقا أنها دالة تحليلية وليكن عند z=0 حيث أن:

sinz = z - z^3/3! + z^5/5! - z^7/7! +.... l

بقسمة الطرفين على z نحصل على متسلسلة أيضا لا تعارض أساسيات الرياضيات كعدم جواز القسمة على صفر أو ما شابه..

sinz/z = 1 - z^2/3! + z^4/5! - z^6/7! +.... l

لكن sinz تحليلية عند z=0 هذا يعني أنه يجب أن تكون كذلك sinz/z تحليلية عند z=0 لكن القسمة على صفر غير جائزة.. هنا نلجأ إلى النهايات مع علمنا أن lim sinz/z = 1 عندما تؤول z لـ 0 وهذا يعني أنه يمكن التغاضي فيما لو كانت z=0 وتسمى في الرياضيات removable singular point.. ولهذا في دالة تحليلية.. أما لو كانت قيمة النهاية عند z=0 غير معرفة فلن تكون تحليلية عند هذه النقطة..

وهذا يعني أن sinz/z تطابق تماما صورة:

1 - z^2/3! + z^4/5! - z^6/7! +...

حيث z أي عدد عقدي ( حقيقي أو تخيلي)..
فكرة الحل صحيحة طالما أن z as a complex number .. لكن الحل نفسه منقوص وكذلك الحل الذي وضعتُه أنها ينقصه جزء أخير ألا وهو إثبات أنها تحليلية على المستوى المركب complex plane ..

تم إثبات جزء فقط من المتسلسة أنه يشكل دالة تحليلية وهو:1 - z^2/3 !

يمكن اللجوء للمبرهنة التي تنص على أن الدوال التحليلية مغلقة على عمليتي الجمع والضرب: أي أن مجموع دوالة تحليلية هو نفسه دالة تحليلية.. وكذلك حاصل ضرب دوال تحليلية هو نفسه دالة تحليلية..

حدود المتسلسلة هي: sinz/z = 1 - z^2/3! + z^4/5! - z^6/7! +.... l

تم إثبات جزء منها وهو 1 - z^2/3! أنه دالة تحليلية.. وليس من المنطقي أنه سيتم إثبات كل حد على حدةٍ.. بل سنثبت الحد العام لبقية الحدود بغض النظر عن الإشارة والعدد المقسوم عليه الحد لتسهيل الحل:

z^2k = (x+iy)^2k

تساوي: x+iy مضروربة في نفسها 2k مرة .. وهذا يعني أنه إذا أثبتنا أن z تحليلة فهذا يعني أن sinz/z تحليلية كذلك..

z = x+iy , u(x,y) = x , v =(x,y) = y

والتي تحقق شرط: du/dx = dv/dy , du/dy = -dv/dx

أي sinz/z is analytic function عندما z لا تساوي الصفر تمامًا، بل عندما تؤول z للصفر لأنه لا يجوز القسمة على الصفر، كما أن نهاية الدالة عند الصفر موجودة وتساوي 1.

lim sin(z)/z = 1 , z approaches to 0

https://en.wikipedia.org/wiki/Removable_singularity
صعب
×